在等比数列 $\{a_n\}$ 中，公比 $q=2$，前 $99$ 项的和是 $56$，则 $a_1=$ ，$a_3+a_6+a_9+\cdots +a_{99}=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{56}{2^{99}-1}$；$32$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{a_1-a_1\cdot 2^{99}}{1-2}=56,\]解得\[a_1=\dfrac{56}{2^{99}-1}.\]设 $m=a_3+a_6+a_9+\cdots +a_{99}$，则\[\begin{split}\dfrac mq&=a_2+a_5+a_8+\cdots+a_{98},\\
\dfrac m{q^2}&=a_1+a_4+a_7+\cdots+a_{97},\end{split}\]因此\[\dfrac m4+\dfrac m2+m=56,\]解得 $m=32$．
\dfrac m{q^2}&=a_1+a_4+a_7+\cdots+a_{97},\end{split}\]因此\[\dfrac m4+\dfrac m2+m=56,\]解得 $m=32$．
题目
答案
解析
备注
