如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=\sqrt 3+1$，$AD=\sqrt 6$，$\angle{ABC}=120^{\circ}$，$\angle{DAB}=75^{\circ}$，则 $\angle{BAC}=$ ，$CD=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$45^{\circ}$；$\sqrt 3$
【解析】
在 $\triangle{ABC}$ 中，由余弦定理得$$AC^2=1+\left(\sqrt 3+1\right)^2-2\cdot 1\cdot\left(\sqrt 3+1\right)\cos {120^{\circ}}=6+3\sqrt 3,$$所以\[AC=\dfrac{\sqrt 6+3\sqrt 2}{2},\]进而\[\cos {\angle{BAC}}=\dfrac {\sqrt 2}{2},\]所以 $\angle{BAC}=45^{\circ}$，$\angle{DAC}=30^{\circ}$．
在 $\triangle{DAC}$ 中由余弦定理可得 $CD=\sqrt 3$．
在 $\triangle{DAC}$ 中由余弦定理可得 $CD=\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
