设函数 $f_1(x)=2-x$，$f_2(x)=-x^2+6x-4$，$f(x)=\begin{cases}f_1(x),&f_1(x)\geqslant f_2(x),\\ f_2(x),&f_2(x)>f_1(x).\end{cases}$ 则 $f(2015)=$ ；若函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上的最大值为 $f(a)$，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$-2013$；$\left[3-\sqrt 3,3\right]$
【解析】
由 $f_1(x)-f_2(x)=(x-1)(x-6)$，得到 $f(x)$ 图象如下．
故\[f(2015)=2-2015=-2013,\]由题意知 $a>0$，令 $f_2(x)=2$ 得到 $x=3\pm\sqrt 3$，结合图象知 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上的最大值为 $f(a)$ 时，则 $a$ 的取值范围是 $\left[3-\sqrt 3,3\right]$．
事实上，由 $f(a)>f(0)$ 得到 $a\subseteq [3-\sqrt 3,3+\sqrt 3]$；若 $a>3$，则 $3\in [0,a]$，而 $f(a)<f(3)$，矛盾，所以有 $a\in[3-\sqrt 3,3]$，此时有 $f(a)\geqslant f(3-\sqrt 3)=2$，故 $[3-\sqrt 3,3]$ 为所求的 $a$ 的取值范围．
故\[f(2015)=2-2015=-2013,\]由题意知 $a>0$，令 $f_2(x)=2$ 得到 $x=3\pm\sqrt 3$，结合图象知 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上的最大值为 $f(a)$ 时，则 $a$ 的取值范围是 $\left[3-\sqrt 3,3\right]$．事实上，由 $f(a)>f(0)$ 得到 $a\subseteq [3-\sqrt 3,3+\sqrt 3]$；若 $a>3$，则 $3\in [0,a]$，而 $f(a)<f(3)$，矛盾，所以有 $a\in[3-\sqrt 3,3]$，此时有 $f(a)\geqslant f(3-\sqrt 3)=2$，故 $[3-\sqrt 3,3]$ 为所求的 $a$ 的取值范围．
题目
答案
解析
备注
