设函数 $f(x)=|2x-m|+4x$．
$(1)$ 当 $m=2$ 时，满足 $f(x)\leqslant 1$ 的 $x$ 的取值范围是 ；
$(2)$ 若 $f(x)\leqslant 2$ 的解集为 $\{x\mid x\leqslant -2\}$，则 $m=$ ．
$(1)$ 当 $m=2$ 时，满足 $f(x)\leqslant 1$ 的 $x$ 的取值范围是
$(2)$ 若 $f(x)\leqslant 2$ 的解集为 $\{x\mid x\leqslant -2\}$，则 $m=$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$；$-14$ 或 $6$
【解析】
$(1)$ 当 $m=2$ 时，函数\[f(x)=\begin{cases}2x+2,&x\leqslant 1,\\ 6x-2,&x>1.\end{cases}\]解不等式 $f(x)\leqslant 1$，可得 $x\leqslant -\dfrac 12$；
$(2)$ 因为\[f(x)=\begin{cases}2x+m,&x\leqslant \dfrac m2,\\ 6x-m,&x>\dfrac m2,\end{cases}\]所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，从而 $f(x)\leqslant 2$ 的解集为 $\{x\mid x\leqslant -2\}$ 当且仅当 $f(-2)=2$，即$$|-m-4|-8=2,$$解得 $m=-14$ 或 $m=6$．
$(2)$ 因为\[f(x)=\begin{cases}2x+m,&x\leqslant \dfrac m2,\\ 6x-m,&x>\dfrac m2,\end{cases}\]所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，从而 $f(x)\leqslant 2$ 的解集为 $\{x\mid x\leqslant -2\}$ 当且仅当 $f(-2)=2$，即$$|-m-4|-8=2,$$解得 $m=-14$ 或 $m=6$．
题目
答案
解析
备注
