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平面上有点 $A(-3,0)$ 和 $B(0,-3)$，点 $C$ 在直线 $l:3x+y-2=0$ 上运动，当 $CA+CB$ 最小时，点 $C$ 的坐标为 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线
    >
    直线与直线的位置关系
    >
    到(夹)角公式
【答案】
$\left(\dfrac 98,-\dfrac{11}{8}\right)$
【解析】
由于点 $A,B$ 在直线 $l$ 的同侧，因此当 $A,C,B'$ 共线时 $CA+CB$ 最小，其中 $B'$ 为点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点．设 $C(m,2-3m)$，直线 $l$ 平分 $\angle ACB$，由 $AC,BC,l$ 的斜率分别为\[\dfrac{2-3m}{m+3},\dfrac{5-3m}m,-3,\]可得\[\dfrac{\dfrac{2-3m}{m+3}+\dfrac{5-3m}m}{1-\dfrac{2-3m}{m+3}\cdot \dfrac{5-3m}m}=\dfrac{2\cdot (-3)}{1-(-3)^2},\]即\[\dfrac{6m^2+2m-15}{8m^2-24m+10}=\dfrac 34,\]解得 $m=\dfrac 98$．
题目 答案 解析 备注
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