已知正实数 $a,b$ 满足 $a^2+4b^2=1$，则 $\dfrac{8ab}{a+2b}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 2$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\left(\dfrac{8ab}{a+2b}\right)^2\cdot \dfrac{1}{a^2+4b^2}&=\dfrac{64}{\left(\dfrac ab+\dfrac{4b}{a}+4\right)\left(\dfrac ab+\dfrac{4b}a\right)}\\
&\leqslant \dfrac{64}{(4+4)\cdot 4}\\
&=2,
\end{split}\]等号当 $a=2b=\dfrac{\sqrt 2}2$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 2$．
&\leqslant \dfrac{64}{(4+4)\cdot 4}\\
&=2,
\end{split}\]等号当 $a=2b=\dfrac{\sqrt 2}2$ 时取得．因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
