已知点 $A(2,0),B(0,\sqrt2)$，直线 $y=kx+b$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 有两个交点 $P,Q$．当四边形 $ABPQ$ 的面积最大时，$b=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$-\sqrt 2$
【解析】
对坐标系进行仿射变换$$\begin{cases}x'=x,\\y'=\sqrt2y,\end{cases}$$此时，椭圆方程化为圆 $x'^2+y'^2=4$，此时有$$S_{A'B'P'Q'}=\sqrt2S_{ABPQ},$$因此，只需研究新坐标系下的四边形 $A'B'P'Q'$ 的面积最大值即可．
由四边形面积公式，得$$S_{A'B'P'Q'}=\dfrac12A'P'\cdot B'Q'\cdot\sin\theta\leqslant\dfrac12r^2=2,$$其中 $\theta$ 为 $A'P'$ 与 $B'Q'$ 的夹角，$r$ 为圆的半径，当 $P'(-2,0),Q'(0,-2)$ 时取得等号．
因此在原坐标系下，直线 $y=kx+b$ 经过点 $Q(0,-\sqrt2)$，故 $b=-\sqrt2$．
由四边形面积公式，得$$S_{A'B'P'Q'}=\dfrac12A'P'\cdot B'Q'\cdot\sin\theta\leqslant\dfrac12r^2=2,$$其中 $\theta$ 为 $A'P'$ 与 $B'Q'$ 的夹角，$r$ 为圆的半径，当 $P'(-2,0),Q'(0,-2)$ 时取得等号．
因此在原坐标系下，直线 $y=kx+b$ 经过点 $Q(0,-\sqrt2)$，故 $b=-\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
