在四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=\sqrt{34}$，$AC=BD=\sqrt{41}$，$AD=BC=5$．则该四面体外接球的体积为 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{125\sqrt2}{3}\pi$
【解析】
注意到四面体的对棱长度相等，可将其放入长方体中．
设长方体的棱长分别为 $a,b,c$，则$$\begin{cases}a^2+b^2=34,\\b^2+c^2=41,\\a^2+c^2=25,\end{cases}$$四面体的外接球半径记为 $R$，有$$(2R)^2=a^2+b^2+c^2=\dfrac{34+41+25}2=50,$$所以 $R=\dfrac 52\sqrt 2$，体积为 $\dfrac{125\sqrt2}{3}\pi$．
设长方体的棱长分别为 $a,b,c$，则$$\begin{cases}a^2+b^2=34,\\b^2+c^2=41,\\a^2+c^2=25,\end{cases}$$四面体的外接球半径记为 $R$，有$$(2R)^2=a^2+b^2+c^2=\dfrac{34+41+25}2=50,$$所以 $R=\dfrac 52\sqrt 2$，体积为 $\dfrac{125\sqrt2}{3}\pi$．
题目
答案
解析
备注
