若实数 $x,y$ 满足 $\max\{2-x,x^2-4\}\leqslant y\leqslant x+2$，则 $5x-y$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left[-2,\dfrac{41}{4}\right]$
【解析】
实数对 $(x,y)$ 满足的可行域如图．
当 $P(x,y)=A(0,2)$ 时，$5x-y$ 取得最小值 $-2$；
当 $P(x,y)$ 位于抛物线段 $BC$（其中 $B(2,0)$，$C(3,5)$）上时，\[5x-y=5x-\left(x^2-4\right)=-x^2+5x+4\leqslant \dfrac{41}4,\]当 $x=\dfrac 52$ 时取得等号．于是 $5x-y$ 的最大值为 $\dfrac{41}4$．
当 $P(x,y)=A(0,2)$ 时，$5x-y$ 取得最小值 $-2$；当 $P(x,y)$ 位于抛物线段 $BC$（其中 $B(2,0)$，$C(3,5)$）上时，\[5x-y=5x-\left(x^2-4\right)=-x^2+5x+4\leqslant \dfrac{41}4,\]当 $x=\dfrac 52$ 时取得等号．于是 $5x-y$ 的最大值为 $\dfrac{41}4$．
题目
答案
解析
备注
