设曲线 $y=x^{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$，则 $x_n=$ ，${\log_{2012}}x_1+{\log_{2012}}x_2+\cdots+{\log_{2012}}x_{2011}=$ ．
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{n}{n+1}$，$-1$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=(n+1)x^n,$$因此 $f'(1)=n+1$，所以在 $(1,1)$ 处的切线方程为$$y=(n+1)x-n,$$因此 $x_n=\dfrac{n}{n+1}$；
设 ${\log_{2012}}x_1+{\log_{2012}}x_2+\cdots+{\log_{2012}}x_{2011}=M$，则有$$M={\log_{2012}}\left(x_1x_2\cdots x_{2011}\right)=-1.$$
设 ${\log_{2012}}x_1+{\log_{2012}}x_2+\cdots+{\log_{2012}}x_{2011}=M$，则有$$M={\log_{2012}}\left(x_1x_2\cdots x_{2011}\right)=-1.$$
题目
答案
解析
备注
