函数 $y=\cos^3x-\cos2x+\cos x$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left[-3,\dfrac{31}{27}\right]$
【解析】
利用二倍角公式统一角度，得$$y=\cos^3x-2\cos^2x+\cos x+1,$$令 $\cos x=t$，则 $t\in[-1,1]$，函数化为 $f(t)=t^3-2t^2+t+1$，求导得$$f'(t)=(3t-1)(t-1),$$因此，函数 $f(t)$ 在 $\left[-1,\dfrac13\right]$ 单调递增，在 $\left[\dfrac13,1\right]$ 上单调递减，又$$f(-1)=-3 , f\left(\dfrac13\right)=\dfrac{31}{27} , f(1)=1,$$因此函数的值域为 $\left[-3,\dfrac{31}{27}\right]$．
题目
答案
解析
备注
