函数 $y=\cos^3x-\cos2x+\cos x$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left[-3,\dfrac{31}{27}\right]$
【解析】
利用二倍角公式统一角度，得$$y=\cos^3x-2\cos^2x+\cos x+1,$$即\[y=\cos x\cdot \left(1-\cos x\right)^2+1.\]一方面，有\[\cos x\cdot \left(1-\cos x\right)^2+1\geqslant -4+1=-3,\]等号当 $\cos x=-1$ 时取得．另一方面，有\[\begin{split} \cos x\cdot \left(1-\cos x\right)^2+1&=\dfrac 12\cdot 2\cos x\cdot (1-\cos x)\cdot (1-\cos x)+1\\
&\leqslant \dfrac 12\cdot \left(\dfrac{2}3\right)^3+1\\
&=\dfrac{31}{27},\end{split}\]等号当 $\cos x=\dfrac 13$ 时取得．
综上所述，所求函数的值域为 $\left[-3,\dfrac{31}{27}\right]$．
&\leqslant \dfrac 12\cdot \left(\dfrac{2}3\right)^3+1\\
&=\dfrac{31}{27},\end{split}\]等号当 $\cos x=\dfrac 13$ 时取得．
综上所述，所求函数的值域为 $\left[-3,\dfrac{31}{27}\right]$．
题目
答案
解析
备注
