从正 $15$ 边形的顶点中选出 $3$ 个构成钝角三角形，则不同的选法有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图，先从 $15$ 个顶点中任选一个点（以 $A_{15}$ 为例），那么以该点为顶点的三角形共有 ${\rm C}_{14}^2=91$ 个．接下来思考这些三角形中锐角三角形的个数．
显然三角形内部包含正 $15$ 边形的中心时为锐角三角形，因此锐角三角形的另外两个顶点必然分别在 $A_1,A_2,\cdots ,A_7$ 以及 $A_8,A_9,\cdots ,A_{14}$ 中．当其中一个顶点为 $A_1,A_2,\cdots ,A_7$ 时，另外一个顶点可能的位置分别有 $1,2,\cdots ,7$ 个，共计 $28$ 个．
这样，我们就得到了所有的钝角三角形有 $\dfrac 13\cdot (91-28)\cdot 15=315$ 个．
显然三角形内部包含正 $15$ 边形的中心时为锐角三角形，因此锐角三角形的另外两个顶点必然分别在 $A_1,A_2,\cdots ,A_7$ 以及 $A_8,A_9,\cdots ,A_{14}$ 中．当其中一个顶点为 $A_1,A_2,\cdots ,A_7$ 时，另外一个顶点可能的位置分别有 $1,2,\cdots ,7$ 个，共计 $28$ 个．这样，我们就得到了所有的钝角三角形有 $\dfrac 13\cdot (91-28)\cdot 15=315$ 个．
题目
答案
解析
备注
