已知 $f(x)=x^2+2a\sqrt{1-x^2}+a^2-4a+5$，若 $f(x)$ 的最大值是 $g(a)$，则关于 $a$ 的不等式 ${\log_{\frac12}}g(a)+3<0$ 的解集是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,2-\sqrt 6\right)\cup \left(3,+\infty\right)$
【解析】
令 $t=\sqrt{1-x^2}$，$t\in [0,1]$，记 $y=f(x)$，则\[y=1-t^2+2at+a^2-4a+5,\]即\[y=-(t-a)^2+2a^2-4a+6.\]因此其最大值\[g(a)=\begin{cases} y\mid_{t=0},&a<0,\\
y\mid_{t=a},&0\leqslant a\leqslant 1,\\
y\mid_{t=1},&a>1,\end{cases}\]也即\[g(a)=\begin{cases} a^2-4a+6,&a<0,\\
2a^2-4a+6,&0\leqslant a\leqslant 1,\\
a^2-2a+5,&a>1,\end{cases}\]考虑到该分段函数的接驳点分别为 $(0,6)$ 和 $(1,4)$，而 $g(a)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增．
关于 $a$ 的不等式 ${\log_{\frac12}}g(a)+3<0$ 等价于 $g(a)>8$，所以考虑方程 $g(a)=8$，其实数解由\[a^2-4a+6=8,a<0\]以及\[a^2-2a+5=8,a>1\]提供，为 $a=2-\sqrt 6$ 和 $a=3$．因此所求解集为 $\left(-\infty,2-\sqrt 6\right)\cup \left(3,+\infty\right)$．
y\mid_{t=a},&0\leqslant a\leqslant 1,\\
y\mid_{t=1},&a>1,\end{cases}\]也即\[g(a)=\begin{cases} a^2-4a+6,&a<0,\\
2a^2-4a+6,&0\leqslant a\leqslant 1,\\
a^2-2a+5,&a>1,\end{cases}\]考虑到该分段函数的接驳点分别为 $(0,6)$ 和 $(1,4)$，而 $g(a)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增．
关于 $a$ 的不等式 ${\log_{\frac12}}g(a)+3<0$ 等价于 $g(a)>8$，所以考虑方程 $g(a)=8$，其实数解由\[a^2-4a+6=8,a<0\]以及\[a^2-2a+5=8,a>1\]提供，为 $a=2-\sqrt 6$ 和 $a=3$．因此所求解集为 $\left(-\infty,2-\sqrt 6\right)\cup \left(3,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
