长方体的所有棱与平面 $\alpha$ 所成的角均为 $\theta$，则 $\cos\theta=$ ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt6}{3}$
【解析】
将长方体放入平面直角坐标系中，可得其所有棱的方向向量为$$\overrightarrow{a}=(1,0,0) , \overrightarrow{b}=(0,1,0) , \overrightarrow{c}=(0,0,1),$$设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，则题意即为 $x=y=z$，不妨令其为 $1$，则$$\sin\theta=\left|\cos\left\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow{m}\right\rangle\right|=\dfrac{\sqrt3}{3},$$因此 $\cos\theta=\dfrac{\sqrt6}{3}$．
题目
答案
解析
备注
