已知 $|a|\leqslant1,|b|\leqslant1,|c|\leqslant1$，则 $ab+bc+ca$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$[-1,3]$
【解析】
考虑到 $ab+bc+ca$ 是关于 $a$ 的一次函数，也是关于 $b$ 的一次函数，也是关于 $c$ 的一次函数，因此其最值在 $a,b,c\in\{-1,1\}$ 时取得．设 $a,b,c$ 中有 $m$ 个 $1$，$3-m$ 个 $-1$，则此时\[\begin{split} 2(ab+bc+ca)&=(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\\
&=(2m-3)^2-3,\end{split} \]于是当 $m=3$ 时原式取得最大值 $3$；当 $m=1$ 或 $m=2$ 时原式取得最小值 $-1$．
&=(2m-3)^2-3,\end{split} \]于是当 $m=3$ 时原式取得最大值 $3$；当 $m=1$ 或 $m=2$ 时原式取得最小值 $-1$．
题目
答案
解析
备注
