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函数 $y=\dfrac{\sqrt{4-x^2}-5}{3x+3}$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    判别式法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    根式的整理
【答案】
$\left(-\infty,\dfrac{5-2\sqrt{22}}{9}\right]\cup\left[\dfrac{5+2\sqrt{22}}{9},+\infty\right)$
【解析】
利用判别式法，方程即$$3y(x+1)=\sqrt{4-x^2}-5,$$移项平方，整理得$$(9y^2+1)x^2+(18y^2+30y)x+(9y^2+30y+21)=0,$$题意即上述关于 $x$ 的方程有解，故$$\Delta=(18y^2+30y)^2-4(9y^2+1)(9y^2+30y+21)\geqslant0,$$整理得$$9y^2-10y-7\geqslant0,$$解得 $y$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{5-2\sqrt{22}}{9}\right]\cup\left[\dfrac{5+2\sqrt{22}}{9},+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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