设 $m,n$ 是大于零的实数，向量 $\overrightarrow{a}=(m\cos\alpha,m\sin\alpha)$，$\overrightarrow{b}=(n\cos\beta,n\sin\beta)$，其中 $\alpha,\beta\in [0,2\pi)$．定义向量 ${\overrightarrow a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\alpha}2,\sqrt m\sin\dfrac{\alpha}2\right)$，${\overrightarrow b}^{\frac 12}=\left(\sqrt n\cos\dfrac{\beta}2,\sqrt n\sin\dfrac{\beta}2\right)$，记 $\theta=\alpha-\beta$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
BCD
【解析】
对于选项A，${\overrightarrow a}^{\frac 12}\cdot{\overrightarrow a}^{\frac 12}=m\cos^2\dfrac{\alpha}2+m\sin^2\dfrac{\alpha}2=m$；
对于选项B，$${\overrightarrow a}^{\frac 12}\cdot{\overrightarrow b}^{\frac 12}=\sqrt{mn}\left(\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\beta}2+\sin\dfrac{\alpha}2\sin\dfrac{\beta}2\right)=\sqrt{mn}\cos\dfrac{\alpha-\beta}2=\sqrt{mn}\cos\dfrac{\theta}2;$$对于选项C、D，有$$\left|{\overrightarrow a}^{\frac 12}\pm {\overrightarrow b}^{\frac 12}\right|^2=m+n\pm 2\sqrt{mn}\cos\dfrac{\theta}2\geqslant 2\sqrt{mn}\left(1\pm\cos\dfrac{\theta}2\right),$$由余弦的二倍角公式即得．
对于选项B，$${\overrightarrow a}^{\frac 12}\cdot{\overrightarrow b}^{\frac 12}=\sqrt{mn}\left(\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\beta}2+\sin\dfrac{\alpha}2\sin\dfrac{\beta}2\right)=\sqrt{mn}\cos\dfrac{\alpha-\beta}2=\sqrt{mn}\cos\dfrac{\theta}2;$$对于选项C、D，有$$\left|{\overrightarrow a}^{\frac 12}\pm {\overrightarrow b}^{\frac 12}\right|^2=m+n\pm 2\sqrt{mn}\cos\dfrac{\theta}2\geqslant 2\sqrt{mn}\left(1\pm\cos\dfrac{\theta}2\right),$$由余弦的二倍角公式即得．
题目
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备注
