若正数 $a,b$ 满足 $2a+b=1$，则 $\dfrac{a}{2-2a}+\dfrac{b}{2-b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac12+\dfrac23\sqrt2$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} \dfrac{a}{2-2a}+\dfrac{b}{2-b}&=\dfrac{1}{2-2a}-\dfrac 12+\dfrac{2}{2-b}-1\\
&\geqslant \dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)^2}{(2-2a)+(2-b)}-\dfrac 32\\
&=\dfrac{2\sqrt 2}3-\dfrac 12,\end{split}\]等号当\[\dfrac{1}{2-2a}=\dfrac{\sqrt 2}{2-b}\]时取得．因此所求的最小值为 $-\dfrac12+\dfrac23\sqrt2$．
&\geqslant \dfrac{\left(1+\sqrt 2\right)^2}{(2-2a)+(2-b)}-\dfrac 32\\
&=\dfrac{2\sqrt 2}3-\dfrac 12,\end{split}\]等号当\[\dfrac{1}{2-2a}=\dfrac{\sqrt 2}{2-b}\]时取得．因此所求的最小值为 $-\dfrac12+\dfrac23\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
