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若正数 $a,b$ 满足 $2a+b=1$，则 $\dfrac{a}{2-2a}+\dfrac{b}{2-b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的次
    >
    齐次
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    整形
    >
    分式的整理
【答案】
$-\dfrac12+\dfrac23\sqrt2$
【解析】
设 $\dfrac{a}{2-2a}+\dfrac{b}{2-b}=M$，利用 $2a+b=1$，将所求代数式齐次化，得$$M=\dfrac{a}{2a+2b}+\dfrac{b}{4a+b},$$令 $2a+2b=m$，$4a+b=n$，则 $m+n=3$，且$$a=\dfrac{2n-m}{6} , b=\dfrac{2m-n}{3},$$此时有$$M=\dfrac13\cdot\dfrac{n}{m}+\dfrac23\cdot\dfrac{m}{n}-\dfrac12\geqslant\dfrac23\sqrt2-\dfrac12,$$当且仅当 $n^2=2m^2$，即 $a=\dfrac52-\dfrac32\sqrt2 , b=3\sqrt2-4$ 时，取得等号．
题目 答案 解析 备注
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