函数 $y=\sqrt{x^2-6x+8}+\sqrt{8+6x-x^2}$ 的定义域是 ，值域是 ．
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$[-\sqrt{17}+3,2]\cup[4,3+\sqrt{17}]$，$\left[4,4\sqrt2\right]$
【解析】
由题意知$$\begin{cases}x^2-6x+8\geqslant0,\\8+6x-x^2\geqslant0,\end{cases}$$解得函数的定义域为 $[-\sqrt{17}+3,2]\cup[4,3+\sqrt{17}]$．
题中函数可整理为\[y=\sqrt{8+t}+\sqrt{8-t},\]其中 $t=x^2-6x$ 且 $t$ 的取值范围是 $[-8,8]$．一方面有\[y\geqslant \sqrt{(8+t)+(8-t)}=4,\]等号当 $t=\pm 8$ 时取得，因此 $y$ 的最小值为 $4$；另一方面有\[y\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{(8+t)+(8-t)}=4\sqrt 2,\]等号当 $t=0$ 时取得，因此 $y$ 的最大值为 $4\sqrt 2$；
综上所述，所求函数的值域为 $\left[4,4\sqrt2\right]$．
题中函数可整理为\[y=\sqrt{8+t}+\sqrt{8-t},\]其中 $t=x^2-6x$ 且 $t$ 的取值范围是 $[-8,8]$．一方面有\[y\geqslant \sqrt{(8+t)+(8-t)}=4,\]等号当 $t=\pm 8$ 时取得，因此 $y$ 的最小值为 $4$；另一方面有\[y\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{(8+t)+(8-t)}=4\sqrt 2,\]等号当 $t=0$ 时取得，因此 $y$ 的最大值为 $4\sqrt 2$；
综上所述，所求函数的值域为 $\left[4,4\sqrt2\right]$．
题目
答案
解析
备注
