已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的两焦点是 $F_1,F_2$，点 $P(x_0,y_0)$ 满足 $0<\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2<1$，则 $|PF_1|+|PF_2|$ 的取值范围是 ，直线 $\dfrac{x_0x}{2}+y_0y=1$ 与椭圆 $C$ 的交点的个数是 ．
【难度】
【出处】
2010年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
$\left[2,2\sqrt2\right)$；$0$
【解析】
由\[0<\dfrac{x_0^2}{2}+y_0^2<1\]可知点 $(x_0,y_0)$ 为椭圆内的点（不包含原点），结合椭圆定义，知 $|PF_1|+|PF_2|$ 的取值范围是 $\left[2,2\sqrt2\right)$．在椭圆上任取一点 $(x_1,y_1)$，则有$$\dfrac{x_0x_1}{2}+y_0y_1\leqslant \dfrac 14(x_0^2+x_1^2)+\dfrac 12(y_0^2+y_1^2)=\dfrac 12\left(\dfrac{x_0^2}2+y_0^2\right)+\dfrac 12\left(\dfrac{x_1^2}2+y_1^2\right)<1,$$因此椭圆上所有的点均在直线的同一侧，故椭圆与直线的交点个数为 $0$．
题目
答案
解析
备注
