如图所示，直线 $MN$ 过 $\triangle ABC$ 的重心 $G$，且 $\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，其中 $m,n>0$，则 $mn$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac49$
【解析】
由点 $G$ 为重心，得$$\overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac13\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3m}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3n}\overrightarrow{AN},$$又 $M,N,G$ 三点共线，有$$\dfrac1{3m}+\dfrac1{3n}=1,$$因此$$3=\dfrac1m+\dfrac1n\geqslant2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{mn}},$$当且仅当 $m=n=\dfrac13$ 时，取得等号，因此 $mn$ 的最小值为 $\dfrac49$．
题目
答案
解析
备注
