定义一个对应法则 $f:P(m,n)\to P'\left(\sqrt{m},\sqrt{n}\right)$，其中 $m,n\geqslant 0$．现有直角坐标平面内的点 $A(2,6)$ 与点 $B(6,2)$，点 $M$ 是线段 $AB$ 上的动点，按定义的对应法则 $f:M\to M'$．当点 $M$ 在线段 $AB$ 上从点 $A$ 开始运动到点 $B$ 时，点 $M$ 的对应点 $M'$ 经过的路线的长度为 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{3}\pi$
【解析】
设点 $M'(x,y)$，则 $M\left(x^2,y^2\right)$，根据题意有$$x^2+y^2=8,x\in\left[\sqrt2,\sqrt6\right],$$故点 $M'$ 的轨迹是半径为 $2\sqrt2$ 的一段圆弧，如图．
其对应的圆心角为 $\dfrac{\pi}{6}$，因此点 $M'$ 经过的线路的长度为 $\dfrac{\sqrt2}{3}\pi$．
其对应的圆心角为 $\dfrac{\pi}{6}$，因此点 $M'$ 经过的线路的长度为 $\dfrac{\sqrt2}{3}\pi$．
题目
答案
解析
备注
