在半径为 $1$ 的大球内放入 $6$ 个半径相等的小球，当小球的体积最大时，小球的半径等于 ，此时在 $6$ 个小球之间的缝隙里还可以放入一小球，该小球的最大半径等于 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt2-1$；$3-2\sqrt2$
【解析】
由题 $6$ 个小球的球心组成各棱长均相等的正八面体，如图所示．
连接 $MN$ 交 $AC$ 于点 $O$，设小球半径为 $r$，则有$$MN=2MO=\sqrt2r=2-2r,$$解得小球的半径为 $\sqrt2-1$；
当新小球的球心在正八面体的中心，且与 $6$ 个小球相切时，半径 $r_1$ 最大，此时有$$r_1+r=\sqrt2r,$$解得新小球的最大半径等于 $3-2\sqrt2$．
连接 $MN$ 交 $AC$ 于点 $O$，设小球半径为 $r$，则有$$MN=2MO=\sqrt2r=2-2r,$$解得小球的半径为 $\sqrt2-1$；当新小球的球心在正八面体的中心，且与 $6$ 个小球相切时，半径 $r_1$ 最大，此时有$$r_1+r=\sqrt2r,$$解得新小球的最大半径等于 $3-2\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
