已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^3+33n$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 $\dfrac{a_n}{n}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{52}{3}$
【解析】
当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=34$；
当 $n\geqslant2,n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3n+34$，因此$$\dfrac{a_n}{n}=3n+\dfrac{34}{n}-3,$$根据对勾函数的性质，当 $n\leqslant3$ 时，$\dfrac{a_n}{n}$ 单调递减；当 $n\geqslant4$ 时，$\dfrac{a_n}{n}$ 单调递增，再结合$$\dfrac{a_3}{3}=\dfrac{52}{3}<\dfrac{a_4}{4}=\dfrac{70}{4},$$因此 $\dfrac{a_n}{n}$ 的最小值为 $\dfrac{52}{3}$．
当 $n\geqslant2,n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3n+34$，因此$$\dfrac{a_n}{n}=3n+\dfrac{34}{n}-3,$$根据对勾函数的性质，当 $n\leqslant3$ 时，$\dfrac{a_n}{n}$ 单调递减；当 $n\geqslant4$ 时，$\dfrac{a_n}{n}$ 单调递增，再结合$$\dfrac{a_3}{3}=\dfrac{52}{3}<\dfrac{a_4}{4}=\dfrac{70}{4},$$因此 $\dfrac{a_n}{n}$ 的最小值为 $\dfrac{52}{3}$．
题目
答案
解析
备注
