已知手表的表面在一平面上,整点 $1,2,\cdots,12$ 这 $12$ 个数字等间隔地分布在半径为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 的圆周上.从整点 $i$ 到整点 $(i+1)$ 的向量记作 $\overrightarrow{t_it_{i+1}}$,则 $\overrightarrow{t_1t_2}\cdot\overrightarrow{t_2t_3}+\overrightarrow{t_2t_3}\cdot\overrightarrow{t_3t_4}+\cdots+\overrightarrow{t_{12}t_1}\cdot\overrightarrow{t_1t_2}=$ 
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二(二试)
【标注】
【答案】
$6\sqrt3-9$
【解析】
设整点 $i$ 对应的点即为 $A_i$,则有$$\overrightarrow{t_1t_2}\cdot\overrightarrow{t_2t_3}=\left(\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA_2}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OA_3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac34,$$设题中式子为 $M$,根据对称性有,$$M=12\cdot\left(\overrightarrow{t_1t_2}\cdot\overrightarrow{t_2t_3}\right)=6\sqrt3-9,$$因此所求代数式的值为 $6\sqrt3-9$.
题目 答案 解析 备注
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