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已知 $10^{20}-2^{20}$ 是 $2^n$ 的整数倍，则正整数 $n$ 的最大值为 \((\qquad)\)
A: $21$
B: $22$
C: $23$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2015年北京大学自主选拔录取考试
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    简单数论
    >
    简单数论
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    整除与同余
【答案】
D
【解析】
因为$$10^{20}-2^{20}=2^{20} \left(5^{20}-1\right)=2^{20} \left(5^{10}+1\right)\left(5^{5}+1\right)\left(5-1\right)\left(5^4+5^3+5^2+5+1\right),$$而 $5^{10}+1$ 模 $4$ 余 $2$，$5^{5}+1$ 模 $4$ 余 $2$，$5^4+5^3+5^2+5+1$ 为奇数，故正整数 $n$ 的最大值为 $24$．
题目 答案 解析 备注
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