已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\ne0$，且 $a_1,a_2,a_4$ 成等比数列，如果数列 $\{a_n\}$ 的无穷子列 $a_3,a_6,a_{k_1},a_{k_2},\cdots,a_{k_n},\cdots$ 也成等比数列，那么下标数列 $\{k_n\}$ 的通项公式为 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$k_n=3\cdot2^{n+1},n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
由题可得$$a_2^2=a_1a_4,$$整理得 $a_1=d$，因此数列 $\{a_n\}$ 的子列的公比为$$\dfrac{a_6}{a_3}=2,$$所以有$$a_{k_n}=3a_1\cdot2^{n+1}=k_n\cdot a_1,$$因此下标数列 $\{k_n\}$ 的通项公式为 $k_n=3\cdot2^{n+1},n\in\mathbb N^{\ast}$．
题目
答案
解析
备注
