如图所示，已知 $MN$ 是半径为 $4$ 的球 $O$ 的直径，点 $A$ 和 $C$ 在球面上，且 $AB\perp MN$ 于点 $B$，$CD\perp MN$ 于点 $D$，$\angle AOB=\angle COD=30^\circ$．若平面 $MAN$ 与平面 $MCN$ 所成的角为 $60^\circ$，则线段 $AC$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$2\sqrt{13}$
【解析】
由题可知$$AB=CD=2,BD=4\sqrt3,\left\langle\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}\right\rangle=60^\circ,$$因此，有\[\begin{split}AC^2&=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}\right)^2\\&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}\\&=52,\end{split}\]因此线段 $AC$ 的长为 $2\sqrt{13}$．
题目
答案
解析
备注
