已知椭圆 $C_1$ 与双曲线 $C_2$ 的中心都在原点，焦点都在 $x$ 轴上，$F_1,F_2$ 是公共的焦点，它们在第一象限内交点为 $P$，且 $\triangle PF_1F_2$ 是以 $PF_1$ 为底边的等腰三角形．若 $|PF_1|=10$，椭圆 $C_1$ 的离心率的取值范围是 $\left(\dfrac13,\dfrac25\right)$，则双曲线 $C_2$ 的离心率的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$(1,2)$
【解析】
本题中椭圆与双曲线的半焦距长相等，设为 $c$，设椭圆的长半轴长为 $a_1$，离心率为 $e_1$，双曲线的实半轴长为 $a_2$，离心率为 $e_2$．因为点 $P$ 同时在椭圆与双曲线上，所以根据椭圆与双曲线的定义，我们就可以得到 $\triangle PF_1F_2$ 的边长的多个关系式，进而得到 $a_1,a_2,c$ 的联系，导出离心率 $e_1,e_2$ 的大小关系，得到结论．如图：
设 $|PF_1|=2m$，$|PF_2|=2n$，由椭圆与双曲线的定义知$$2m+2n=2a_1,2m-2n=2a_2,2n=2c,$$从而 $n=c,a_1=m+c,a_2=m-c$．于是得到$$e_1=\dfrac {c}{m+c},e_2=\dfrac {c}{m-c}.$$从而得到 $\dfrac {1}{e_1}-\dfrac {1}{e_2}=2$，由 $e_1\in\left(\dfrac 13,\dfrac 25\right)$ 得到 $e_2$ 的取值范围是 $(1,2)$．
设 $|PF_1|=2m$，$|PF_2|=2n$，由椭圆与双曲线的定义知$$2m+2n=2a_1,2m-2n=2a_2,2n=2c,$$从而 $n=c,a_1=m+c,a_2=m-c$．于是得到$$e_1=\dfrac {c}{m+c},e_2=\dfrac {c}{m-c}.$$从而得到 $\dfrac {1}{e_1}-\dfrac {1}{e_2}=2$，由 $e_1\in\left(\dfrac 13,\dfrac 25\right)$ 得到 $e_2$ 的取值范围是 $(1,2)$．
题目
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