四边形 $ABCD$ 中，若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}=0$ 成立，则四边形 $ABCD$ 是 （填“平行四边形”、“长方形”、“正方形”或“梯形”）．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
平行四边形
【解析】
记 $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow {DB}=\overrightarrow b$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow c$，则\[\begin{split}&\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}\\=&\left(\overrightarrow b-\overrightarrow a\right)\cdot\left(-\overrightarrow a\right)+\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)\cdot \left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)+\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)\cdot\left(-\overrightarrow c\right)+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a\\=&\left(\overrightarrow a-\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2\\=&0,\end{split}\]所以$$\overrightarrow a+\overrightarrow c=\overrightarrow b,$$即四边形 $ABCD$ 为平行四边形．
题目
答案
解析
备注
