设 $f(x)+g(x)=\sqrt{1+x+x^2}$ 且 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 分别是偶函数和奇函数，则 $f(3)=$ ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 7+\sqrt{13}}{2}$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases}f(x)+g(x)=\sqrt{1+x+x^2},\\ f(-x)+g(-x)=\sqrt{1-x+x^2},\end{cases}$$结合 $f(x),g(x)$ 的奇偶性可得$$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}{2},$$所以$$f(3)=\dfrac{\sqrt 7+\sqrt{13}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
