已知 $\overrightarrow{a}=(\cos \alpha,\sin \alpha)$，$\overrightarrow b=(\cos \beta,\sin \beta)$，且 $\overrightarrow c=\overrightarrow a+k\overrightarrow b$（$k\in [-1,2]$）．若 $\alpha=\beta+\dfrac {\pi}{3}$，则 $\left|\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{\sqrt 3}{2},\sqrt 7\right]$
【解析】
根据题意可得\[\begin{split}\left|\overrightarrow c\right|&=\left|\overrightarrow a+k\overrightarrow b\right|\\&=\sqrt{k^2+k+1},\end{split}\]其中 $-1\leqslant k\leqslant 2$．因此$$\dfrac{\sqrt 3}{2}\leqslant \left|\overrightarrow c\right|\leqslant \sqrt 7.$$即 $\left|\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 3}{2},\sqrt 7\right]$．
题目
答案
解析
备注
