已知 $\overrightarrow{a}=(\cos \alpha,\sin \alpha)$,$\overrightarrow b=(\cos \beta,\sin \beta)$,且 $\overrightarrow c=\overrightarrow a+k\overrightarrow b$($k\in [-1,2]$).若 $\alpha=\beta+\dfrac {\pi}{3}$,则 $\left|\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是 .
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一(一试)
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{\sqrt 3}{2},\sqrt 7\right]$
【解析】
根据题意可得\[\begin{split}\left|\overrightarrow c\right|&=\left|\overrightarrow a+k\overrightarrow b\right|\\&=\sqrt{k^2+k+1},\end{split}\]其中 $-1\leqslant k\leqslant 2$.因此$$\dfrac{\sqrt 3}{2}\leqslant \left|\overrightarrow c\right|\leqslant \sqrt 7.$$即 $\left|\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 3}{2},\sqrt 7\right]$.
题目
答案
解析
备注