$\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+25}$ 的最小值为 ，此时 $x=$ ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt{34},\dfrac{11}{5}$
【解析】
依题意有\[\begin{split}&\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2-8x+25}\\=&\sqrt{(x-1)^2+(0-2)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(0-3)^2},\end{split}\]题目即求 $x$ 轴上一点 $P(x,0)$ 到点 $A(1,2)$ 和 $B(4,3)$ 的距离和的最小值．
点 $A(1,2)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A'(1,-2)$，连接 $A'B$ 交 $x$ 轴于点 $\left(\dfrac{11}{5},0\right)$，此时所求距离之和最小，最小值为$$A'B=\sqrt{34}.$$
点 $A(1,2)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A'(1,-2)$，连接 $A'B$ 交 $x$ 轴于点 $\left(\dfrac{11}{5},0\right)$，此时所求距离之和最小，最小值为$$A'B=\sqrt{34}.$$
题目
答案
解析
备注
