已知 $f(x)=2\sin \dfrac x 2\sin \left(\theta-\dfrac{x}{2}\right)-1$.
(1)若 $f(x)$ 是偶函数,则 $\cos {\dfrac {\theta}{2}}=$ 
(2)若 $f(x)$ 的最大值是 $\dfrac 12$,则 $\cos {2\theta}=$ 
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一(一试)
【标注】
【答案】
$0,1,-1$;$-\dfrac 12$
【解析】
根据题意可得\[\begin{split}f(x)&=2\sin\dfrac{x}{2}\sin \left(\theta -\dfrac x2\right)-1\\&=\sin \theta \sin x+\cos \theta \cos x-\cos \theta-1,\end{split}\](1)若 $f(x)$ 为偶函数,则$$\sin \theta=0,$$因此$$\sin {\dfrac{\theta}{2}}=0\lor \cos {\dfrac{\theta}{2}}=0.$$故$$\cos {\dfrac{\theta}{2}}=0,\lor \pm 1.$$(2)因为$$f(x)=\cos(x-\theta)-\cos \theta-1,$$所以$$f(x)_{\max}=-\cos \theta=\dfrac 12,$$即$$\cos \theta =-\dfrac 12,$$进而$$\cos {2\theta}=2\cos ^2{\theta}-1=-\dfrac 12.$$
题目 答案 解析 备注
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