已知 $f(x)=2\sin \dfrac x 2\sin \left(\theta-\dfrac{x}{2}\right)-1$．
（1）若 $f(x)$ 是偶函数，则 $\cos {\dfrac {\theta}{2}}=$ ．
（2）若 $f(x)$ 的最大值是 $\dfrac 12$，则 $\cos {2\theta}=$ ．
（1）若 $f(x)$ 是偶函数，则 $\cos {\dfrac {\theta}{2}}=$
（2）若 $f(x)$ 的最大值是 $\dfrac 12$，则 $\cos {2\theta}=$
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$0,1,-1$；$-\dfrac 12$
【解析】
根据题意可得\[\begin{split}f(x)&=2\sin\dfrac{x}{2}\sin \left(\theta -\dfrac x2\right)-1\\&=\sin \theta \sin x+\cos \theta \cos x-\cos \theta-1,\end{split}\]（1）若 $f(x)$ 为偶函数，则$$\sin \theta=0,$$因此$$\sin {\dfrac{\theta}{2}}=0\lor \cos {\dfrac{\theta}{2}}=0.$$故$$\cos {\dfrac{\theta}{2}}=0,\lor \pm 1.$$（2）因为$$f(x)=\cos(x-\theta)-\cos \theta-1,$$所以$$f(x)_{\max}=-\cos \theta=\dfrac 12,$$即$$\cos \theta =-\dfrac 12,$$进而$$\cos {2\theta}=2\cos ^2{\theta}-1=-\dfrac 12.$$
题目
答案
解析
备注
