不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 的解是 ，在这个条件下，函数 $y=|\sin x|$ 的图象关于 轴成 对称图形．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left\{x\mid -\dfrac 12\leqslant x\leqslant \dfrac 12 \land x\ne 0\right\}$；$y$ 轴；轴
【解析】
当 $-\dfrac 12\leqslant x<0$ 时，不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 同解于\[\begin{cases}-\dfrac 12\leqslant x<0,\\ \sqrt{1-4x^2}<1-3x,\end{cases}\]解得 $-\dfrac 12\leqslant x<0$．
当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 同解于\[\begin{cases}0<x\leqslant \dfrac 12 ,\\ \sqrt{1-4x^2}>1-3x,\end{cases}\cdots(*)\]若 $1-3x\leqslant 0$，即 $\dfrac 13\leqslant x\leqslant \dfrac 12$，不等式（*）恒成立；
若 $1-3x>0$，即 $0<x<\dfrac 13$，解不等式（*）得$$0<x<\dfrac 13.$$综上，不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 的解集为 $\left\{x\mid -\dfrac 12\leqslant x\leqslant \dfrac 12 \land x\ne 0\right\}$．
此时，易知函数 $y=|\sin x|$ 图象关于 $y$ 轴对称．
当 $0<x\leqslant \dfrac 12$ 时，不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 同解于\[\begin{cases}0<x\leqslant \dfrac 12 ,\\ \sqrt{1-4x^2}>1-3x,\end{cases}\cdots(*)\]若 $1-3x\leqslant 0$，即 $\dfrac 13\leqslant x\leqslant \dfrac 12$，不等式（*）恒成立；
若 $1-3x>0$，即 $0<x<\dfrac 13$，解不等式（*）得$$0<x<\dfrac 13.$$综上，不等式 $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ 的解集为 $\left\{x\mid -\dfrac 12\leqslant x\leqslant \dfrac 12 \land x\ne 0\right\}$．
此时，易知函数 $y=|\sin x|$ 图象关于 $y$ 轴对称．
题目
答案
解析
备注
