某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 $ 1 $ 或元件 $ 2 $ 正常工作，且元件 $ 3 $ 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $ N\left(1 000,50^2\right) $，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 $ 1 000 $ 小时的概率为 ．
【难度】
【出处】
2012年高考新课标全国卷（理）
【标注】
【答案】
$ {\dfrac{3}{8}} $
【解析】
由于三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $ N\left(1 000,50^2\right) $，
故每个元件使用寿命超过 $ 1 000 $ 小时的概率\[P\left( X\geqslant 1 000\right) ={\dfrac{1}{2}} ,\]故该部件的使用寿命超过 $ 1 000 $ 小时的概率\[P={\dfrac{1}{2}}\times\left[\mathrm C_2^1\times {\dfrac{1}{2}} \times {\dfrac{1}{2}}+\left(\dfrac 12\right)^2\right]={\dfrac{3}{8}} .\]
故每个元件使用寿命超过 $ 1 000 $ 小时的概率\[P\left( X\geqslant 1 000\right) ={\dfrac{1}{2}} ,\]故该部件的使用寿命超过 $ 1 000 $ 小时的概率\[P={\dfrac{1}{2}}\times\left[\mathrm C_2^1\times {\dfrac{1}{2}} \times {\dfrac{1}{2}}+\left(\dfrac 12\right)^2\right]={\dfrac{3}{8}} .\]
题目
答案
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