考虑三维空间中任意给定的空间四边形 $abcd$，其中 $a,b,c,d$ 为四个顶点，四条直线段 $ab,bc,cd,da$ 顺序首尾相连．在 $a$ 点的内角定义为射线 $ad$ 与射线 $ab$ 所成的角，其补角称为 $a$ 点的外角，其它顶点处类似．考虑这种空间四边形的外角和 $X$，则有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
B
【解析】
空间四边形的内角和与外角和的和为 ${4\pi}$，先考虑空间四边形的内角和 $Y$，连结 $bd$，如图：
我们用三个顶点的字母表示一个角，在 $\triangle abd$ 与 $\triangle bcd$ 中，有$$\angle dab+\angle abd+\angle adb+\angle cbd+\angle cdb+\angle bcd=2\pi,$$所以只需要考虑 $\angle abc$ 与 $\angle abd+\angle cbd$ 的大小，以及 $\angle adc$ 与 $\angle adb+\angle cdb$ 的大小关系即可．
由三射线定理知\[\begin{split} \cos \angle abc=&\cos \angle abd\cos \angle cbd+\sin \angle abd\sin \angle cbd \cos\theta\\\geqslant&\cos \angle abd\cos \angle cbd-\sin \angle abd\sin \angle cbd\\=&\cos(\angle abd+\angle cbd),\end{split}\]其中 $\theta$ 表示二面角 $a-bd-c$ 的大小．
于是我们得到 $\angle abc\leqslant \angle abd+\angle cbd$，同理有 $\angle adc\leqslant \angle adb+\angle cdb$，所以$$Y=\angle dab+\angle abc+\angle bcd+\angle cda\leqslant 2\pi,$$从而 $X\geqslant 2\pi$．
我们用三个顶点的字母表示一个角，在 $\triangle abd$ 与 $\triangle bcd$ 中，有$$\angle dab+\angle abd+\angle adb+\angle cbd+\angle cdb+\angle bcd=2\pi,$$所以只需要考虑 $\angle abc$ 与 $\angle abd+\angle cbd$ 的大小，以及 $\angle adc$ 与 $\angle adb+\angle cdb$ 的大小关系即可．由三射线定理知\[\begin{split} \cos \angle abc=&\cos \angle abd\cos \angle cbd+\sin \angle abd\sin \angle cbd \cos\theta\\\geqslant&\cos \angle abd\cos \angle cbd-\sin \angle abd\sin \angle cbd\\=&\cos(\angle abd+\angle cbd),\end{split}\]其中 $\theta$ 表示二面角 $a-bd-c$ 的大小．
于是我们得到 $\angle abc\leqslant \angle abd+\angle cbd$，同理有 $\angle adc\leqslant \angle adb+\angle cdb$，所以$$Y=\angle dab+\angle abc+\angle bcd+\angle cda\leqslant 2\pi,$$从而 $X\geqslant 2\pi$．
题目
答案
解析
备注
