设 $P$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的点，$A,B$ 分别为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 两渐近线上的动点，且 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$（$\lambda$ 为常数）．设 $O$ 为坐标原点，若 $\triangle AOB$ 面积的最大值为 $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$，则 $\dfrac 1a+\dfrac 7b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(7,9]$
【解析】
设 $A(am,bm)$，$B(an,-bn)$，则根据定比分点坐标公式，有有\[P\left(a\cdot \dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda },b\cdot \dfrac{m-\lambda n}{1-\lambda}\right),\]因此由 $P$ 点在椭圆上可得\[\left(\dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda }\right)^2+\left(\dfrac{m-\lambda n}{1+\lambda}\right)^2=1,\]即\[m^2+\lambda^2n^2=\dfrac 12(1+\lambda)^2,\]于是\[\dfrac 12(1+\lambda)^2\geqslant 2|\lambda|\cdot |mn|,\]即\[|mn|\leqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}.\]另一方面，由面积坐标公式，可得\[\triangle AOB=ab\cdot |mn|\leqslant ab \cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|},\]因此可得\[\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=ab,\]进而\[\dfrac 1a+\dfrac 7b=\left(\dfrac 1a+\dfrac 7b\right)\cdot ab \cdot \dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{7a^2+8ab+b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{7x^2+8x+1}{x^2+1},\]其中 $x=\dfrac ab>1$．右侧函数当 $x\in (1,2)$ 时单调递增，当 $x\in (2,+\infty)$ 时单调递减，因此所求取值范围是 $(7,9]$．
题目
答案
解析
备注
