已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的内接 $\triangle ABC$ 的边 $AB,AC$ 分别过其左、右焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，椭圆 $E$ 的左、右顶点分别为 $D,E$，直线 $DB$ 和 $EC$ 交于点 $P$，当点 $A$ 在椭圆 $E$ 上运动时，点 $P$ 的轨迹方程是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{\left(b\cdot \dfrac{c+a}{c-a}\right)^2}=1,y\ne 0$
【解析】
设 $A(a\cos 2\alpha,b\sin 2\alpha)$，$B(a\cos2\beta,b\sin2\beta)$，$C(a\cos2\gamma,b\sin2\gamma)$，则由椭圆的参数弦方程可得直线 $AB$ 的横截距 $-c$ 满足\[\tan\alpha\cdot \tan\beta=\dfrac{-c-a}{-c+a},\]直线 $AC$ 的横截距 $c$ 满足\[\tan\alpha\cdot \tan\gamma =\dfrac{c-a}{c+a},\]因此直线 $BD$ 和直线 $EC$ 的斜率 $k_{PD},k_{PE}$ 的乘积为\[\begin{split}k_{PD}\cdot k_{PE}&=\dfrac{b\sin2\beta}{a\cos2\beta+a}\cdot \dfrac{b\sin2\gamma}{a\cos{2\gamma} -a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \tan\beta \cdot \left(-\dfrac{1}{\tan\gamma}\right)\\
&=-\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \left(\dfrac{c+a}{c-a}\right)^2.
\end{split}\]根据椭圆的斜率积定义，可得点 $P$ 的轨迹方程是\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{\left(b\cdot \dfrac{c+a}{c-a}\right)^2}=1,y\ne 0.\]
&=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \tan\beta \cdot \left(-\dfrac{1}{\tan\gamma}\right)\\
&=-\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \left(\dfrac{c+a}{c-a}\right)^2.
\end{split}\]根据椭圆的斜率积定义，可得点 $P$ 的轨迹方程是\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{\left(b\cdot \dfrac{c+a}{c-a}\right)^2}=1,y\ne 0.\]
题目
答案
解析
备注
