已知 $a,b>0$，且 $a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$，则 $ab$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[1,\dfrac 83\right]$
【解析】
令 $ab=x$，则\[a+\dfrac 2a+\dfrac {3x}{a}+\dfrac{4a}{x}=10,\]即\[(x+4)a^2-10x\cdot a+3x^2+2x=0,\]由判别式\[\Delta=(-10x)^2-4(x+4)(3x^2+2x)\geqslant 0,\]可得\[x(3x^2-11x+8)\leqslant 0,\]解得 $1\leqslant x\leqslant \dfrac 83$．而当 $a=1$ 时，$x=1$；当 $a=2$ 时，$x=\dfrac 83$；结合连续性可知所求的取值范围是 $\left[1,\dfrac 83\right]$．
题目
答案
解析
备注
