已知 $f\left( x \right) = m\left( {x - 2m} \right)\left( {x + m + 3} \right)$,$g\left( x \right) = {2^x} - 2$.若同时满足条件:
① $\forall x \in {\mathbb{R}}$,$f\left( x \right) < 0$ 或 $g\left( x \right) < 0$;
② $\exists x \in \left( { - \infty , - 4} \right),f\left( x \right)g\left( x \right) < 0$,
则 $m$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
2012年高考北京卷(理)
【标注】
【答案】
$ \left(-4,-2\right) $
【解析】
本题对二次函数和指数函数的图象和性质进行了综合的考查,结合函数的图象,对 $m$ 进行分类讨论即可.满足题意的大致图象如下:对于 ①,当 $ x<1 $ 时,$ g\left(x\right)<0 $.因为 $\forall x \in {\mathbb R}$,$ f\left(x\right)<0 $ 或 $ g\left(x\right)<0 $,
所以 $f\left(x\right)=m\left(x-2m\right)\left(x+m+3\right)<0 $ 在 $ x\geqslant 1 $ 时恒成立.
由二次函数的性质,可知抛物线开口向下,且与 $ x $ 轴的交点都在 $\left(1,0\right)$ 的左侧,
于是\begin{align*}
m&<0,\\
-m-3&<1,\\
2m&<1,
\end{align*}解得 $ -4<m<0$.
又因为 $\exists x \in \left( { - \infty , - 4} \right)$,$f\left( x \right)g\left( x \right) < 0$,而此时 $g\left( x \right) = {2^x} - 2 < 0$ 恒成立,
所以\[
\exists x \in \left( { - \infty , - 4} \right), f(x)>0,
\]从而只要 $ -4 $ 大于 $ 2m,-m-3$ 中较小的数即可.
(1)当 $ - 1 < m < 0$ 时,$ -m-3<2m$,但是 $-m-3>-4$,不成立;
(2)当 $ m=-1 $ 时,$2m=-m-3=-2>-4$,不成立;
(3)当 $ -4<m<-1 $ 时,$2m<-m-3$,此时进一步要求 $ 2m<-4 $,即 $-4<m<-2$,成立.
综上所述,当 ①② 同时成立时,有 $ -4<m<-2 $.
题目 答案 解析 备注
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