根据题意，引入参数 $\lambda,\mu$，且 $\lambda,\mu>0$，有\[3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(\lambda a^2+\dfrac{b^2}{\lambda}+\mu b^2+\dfrac{c^2}{\mu}+\dfrac {4c^2}3\right),\]令\[\lambda=\dfrac{1}{\lambda}+\mu=\dfrac{1}{\mu}+\dfrac 43,\]解得 $\lambda =2$，$\mu=\dfrac 32$，于是\[3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=3,\]等号当 $2a=b$ 且 $\dfrac 32b=c$，也即\[(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}},\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)\]时取得，因此所求代数式的最大值为 $3$．