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已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2\leqslant 1$，$3x+4y\leqslant 0$，则 $\dfrac{x-3}{x-y-2}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为斜率
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
$\left[\dfrac{19}{17},4\right]$
【解析】
由题$$\dfrac{x-3}{x-y-2}=\dfrac{x-3}{x-3-y+1}=\dfrac1{1-\dfrac{y-1}{x-3}}$$而 $\dfrac{y-1}{x-3}$ 的几何意义即可行域$$ \begin{cases} x^2+y^2\leqslant 1,\\3x+4y\leqslant 0.\end{cases} $$内的点与定点 $(3,1)$ 连线的斜率，易得该斜率的取值范围为 $\left[\dfrac2{19},\dfrac34\right],$ 进而可得原代数式的取值范围是 $\left[\dfrac{19}{17},4\right].$
题目 答案 解析 备注
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