根据题意，有\[f^2(x+1)-f(x+1)+\dfrac 14=f(x)-f^2(x),\]记 $a_n=f(n)-f^2(n)$，$n\in\mathbb N$，则\[a_{n+1}=-a_n+\dfrac 14,\]因此\[a_n=\begin{cases} a_1,& 2\nmid n,\\ \dfrac 14-a_1,&2 \mid n,\end{cases}\]因此\[a_0+a_{2017}=\dfrac 14,\]即\[f(0)+f(2017)-\dfrac 14=f^2(0)+f^2(2017)\geqslant \dfrac 12\left[f(0)+f(2017)\right]^2,\]解得\[\dfrac{2-\sqrt 2}2\leqslant f(0)+f(2017)\leqslant \dfrac{2+\sqrt 2}2,\]右边等号当 $f(0)=f(2017)=\dfrac{2+\sqrt 2}4$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{2+\sqrt 2}2$．