已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases} x-y\geqslant 0,\\x+y-5\leqslant 0,\\y\geqslant\dfrac1{12}x^4+\dfrac14,\end{cases}$ 则 $\dfrac yx$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac13$
【解析】
显然 $x,y$ 均为正实数，则依题意有$$\begin{split}\dfrac yx&\geqslant\dfrac1x\left(\dfrac1{12}x^4+\dfrac14\right)\\
&=\dfrac14\cdot\left(\dfrac13x^3+\dfrac1{3x}+\dfrac1{3x}+\dfrac1{3x}\right)\\&\geqslant \sqrt[4]{\dfrac1{81}}\\&=\dfrac13.\end{split}$$等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac13\right)$ 时取得，因此 $\dfrac yx$ 的最小值为 $\dfrac13$．
&=\dfrac14\cdot\left(\dfrac13x^3+\dfrac1{3x}+\dfrac1{3x}+\dfrac1{3x}\right)\\&\geqslant \sqrt[4]{\dfrac1{81}}\\&=\dfrac13.\end{split}$$等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac13\right)$ 时取得，因此 $\dfrac yx$ 的最小值为 $\dfrac13$．
题目
答案
解析
备注
