设单位向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 的夹角为锐角，若对任意的 $(x,y)\in\left\{(x,y)\mid \left|x\overrightarrow a+y\overrightarrow b\right|=1,xy\geqslant 0\right\}$，都有 $\left|x+2y \right|\leqslant \dfrac8{\sqrt{15}}$ 成立，则 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac14$
【解析】
根据题意设 $t=\dfrac yx\geqslant 0$，$\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\alpha$，则有$$\left|x\overrightarrow a+y\overrightarrow b\right|^2=1,$$即$$x^2+y^2+2xy\cos\alpha=1,$$于是$$\left( \dfrac{8}{\sqrt{15}}\right)^2\geqslant\left|x+2y \right|^2=\dfrac{x^2+4y^2+4xy}{x^2+y^2+2xy\cos\alpha},$$化简整理即得$$\forall t\geqslant 0,4t^2+\left(128\cos\alpha-60\right)t+49\geqslant 0,$$也即$$\forall t>0,128\cos\alpha-60\geqslant -\dfrac{49}t-4t,$$也即$$128\cos\alpha-60\geqslant-28,$$解得 $\cos\alpha$ 的最小值为 $\dfrac14$．因此所求代数式的最小值为 $\dfrac 14$．
题目
答案
解析
备注
