正三棱锥 $P-ABC$ 中,$2PM=CM$,$CN=2NB$,有下列命题:
① 二面角 $B-PA-C$ 的大小的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}3,\pi\right)$;
② 若 $MN\perp AM$,则 $PC$ 与面 $PAB$ 所成角的大小为 $\dfrac{\pi}2$;
③ 过点 $M$ 与异面直线 $PA$ 与 $BC$ 都成 $\dfrac{\pi}4$ 的直线有 $3$ 条;
④ 若二面角 $B-PA-C$ 大小为 $\dfrac{2\pi}3$,则过点 $N$ 与平面 $PAC$ 与平面 $PAB$ 都成 $\dfrac{\pi}6$ 的直线有 $3$ 条.其中所有正确的命题的序号是
【难度】
【出处】
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
【答案】
①②④
【解析】
命题 ①  设底面中心为 $O$,当 $P$ 从 $O$ 运动到无穷远(此时三棱锥近似成为三棱柱),二面角 $B-PA-C$ 的大小的取值范围为 $\left(\dfrac{\pi}3,\pi\right)$,命题正确.命题 ② 根据题意,有\[\left.\begin{split}\left.\begin{split}\dfrac{PM}{CM}=\dfrac{BN}{CN}\Rightarrow MN\parallel PB, \\ AM\perp MN,\end{split}\right\}\Rightarrow PB\perp AM,\\ PB\perp AC\end{split}\right\}\Rightarrow PB\perp AMC\Rightarrow PB\perp PC,\\ PC\perp AB\]进而可得 $PA,PB,PC$ 两两垂直,命题正确.
命题 ③ 由于 $PA$ 与 $BC$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}2$,因此符合条件的直线有 $2$ 条,命题错误.
命题 ④ 平面 $PAC$ 与平面 $PAB$ 的法线所成的角为 $\dfrac{\pi}3$,因此过点 $N$ 与这两条法线所成角都为 $\dfrac{\pi}3$ 的直线有 $3$ 条,命题正确.
综上所述,命题 ①②④ 正确.
题目 答案 解析 备注
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