设数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则有$$a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),$$根据等差数列的前 $n$ 项和公式，得$$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n,$$结合数列 $\{a_n\}$ 是正项数列，故 $S_n>0$，所以$$\sqrt{S_n}=\sqrt{\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n},$$由 $\sqrt{S_n}$ 是等差数列，可知 $a_1-\dfrac{d}{2}=0$，整理得$$2a_1=d\qquad\qquad\cdots\cdots(1)$$此时，$\sqrt{S_n}=\sqrt{\dfrac{d}{2}}n$，结合两数列公差相等，得$$d=\sqrt{\dfrac{d}{2}},$$又正项数列，解得 $d=\dfrac12$，结合（1）可得 $a_2=a_1+d=\dfrac34$．