已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$,若 $\{a_n\}$ 和 $\{\sqrt{S_n}\}$ 都是等差数列,且公差相等,则 $a_2=$ .
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac34$
【解析】
设数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$,则有$$a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),$$根据等差数列的前 $n$ 项和公式,得$$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n,$$结合数列 $\{a_n\}$ 是正项数列,故 $S_n>0$,所以$$\sqrt{S_n}=\sqrt{\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n},$$由 $\sqrt{S_n}$ 是等差数列,可知 $a_1-\dfrac{d}{2}=0$,整理得$$2a_1=d\qquad\qquad\cdots\cdots(1)$$此时,$\sqrt{S_n}=\sqrt{\dfrac{d}{2}}n$,结合两数列公差相等,得$$d=\sqrt{\dfrac{d}{2}},$$又正项数列,解得 $d=\dfrac12$,结合(1)可得 $a_2=a_1+d=\dfrac34$.
题目
答案
解析
备注